Методична скарбниця

Оптимизационные задачи (вычисление наибольших, наименьших значений)

Задание 1. Число 24 представить в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Цель моделирования. Найти слагаемые числа 24, удовлетворяющие условию задачи.

Формализация задачи. Составим таблицу. Если и — искомые числа, то, отсюда. Сумму квадратов чисел обозначим как S, тогда.

Разработка модели. Введем в таблицу данные в соответствии с условием задачи.

Компьютерная модель. 1. В ячейке A1 (значение числа х) будет подбираться значение, поэтому ничего не вводим.

2. В ячейку B2 введите формулу для вычисления числа у(=24-B1).

3. В ячейку B3 введите формулу для вычисления суммы (=B1^2+B2^2).

Получим

4. Установив курсор в ячейке B3, которая по условию должна принимать наименьшее значение, зайдите в «Сервис→Поиск решения...». Установите целевую ячейку $B$3 равной минимальному значению, изменяя значение ячейки $B$1.

Ограничения (нажмите добавить), так как числа и должны быть положительны, то В1>= 0, В2>= 0,

Получим

затем нажмите на кнопку Выполнить.

Получим

Анализ результатов. Проверьте, насколько соответствуют результаты цели моделирования. Проверьте универсальность построенной модели, изменив число.

Задание 2. Кусок проволоки длиной 48 м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Цель моделирования. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади.

Формализация задачи. Составим таблицу.. Длина проволоки — это периметр. Если и — стороны прямоугольника, то, отсюда. Площадь прямоугольника.

Разработка модели. Введем в таблицу данные в соответствии с условием задачи.

Компьютерная модель. 1. В ячейке В2 (значение стороны х) будет подбираться значение, поэтому ничего не вводим.

2. В ячейку B3 введите формулу для вычисления стороны у(=B1/2-B2).

3. В ячейку B4 введите формулу для вычисления площади S (=B2*B3).

Получим

4. Установив курсор в ячейке со значением площади B4, которая по условию должна принимать наибольшее значение, зайдите в «Сервис→Поиск решения...». Установите целевую ячейку $B$4 равной максимальному значению, изменяя ячейки $B$2.

Ограничения. Так как стороны и должны быть положительны, то В2>= 0, В3>= 0,

затем нажмите Выполнить.

Получим

Анализ результатов. Проверьте, насколько соответствуют результаты цели моделирования. Проверьте универсальность построенной модели, изменив заданную длину проволоки.

Задание 3. Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 13,5 л жидкости. При каких размерах бака на его изготовление потребуется наименьшее количество металла?

Цель моделирования. Найти измерения прямоугольного параллелепипеда фиксированного объёма с квадратным основанием и наименьшей поверхностью.

Формализация задачи. Составим таблицу. Пусть х — сторона основания параллелепипеда. Выразим его высоту через объём и сторону основания. 13,5=х2h,. Найдём поверхность

Разработка модели. Введем в таблицу данные в соответствии с условием задачи.

Компьютерная модель. 1. В ячейке В2 (значение основания х) будет подбираться значение, вводим заведомо малое число, например 0,000000001, чтобы не было ошибки при вычислении по формуле в ячейке В3

2. В ячейку B3 введите формулу для вычисления числа h (=В1/В2^2).

3. В ячейку B4 введите формулу для вычисления площади поверхности (=B2^2+4*B2* B3).

Получим

4. Установив курсор в ячейке B3, которая по условию должна принимать наименьшее значение, зайдите в «Сервис→Поиск решения...». Установите целевую ячейку $B$3 равной минимальному значению, изменяя значение ячейки $B$2.

Ограничения (нажмите добавить), так как числа и должны быть положительны, то В2>= 0,000000001

затем нажмите на кнопку Выполнить.

Получим

Анализ результатов. Проверьте, насколько соответствуют результаты цели моделирования. Проверьте универсальность построенной модели, изменив заданный объём. Сравните с аналитическим решением задачи. Сделайте вывод

Решите самостоятельно задачи

Задание 4. Число 4 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

Задание 5. Число 54 представьте в виде суммы трёх положительных слагаемых, два из которых пропорциональны числам 1 и 2, таким образом, чтобы произведение всех слагаемых было наибольшим.

Задание 6. Число 16 представьте в виде произведения двух положительных чисел, сумма квадратов которых будет наибольшей.

Задание 7. Площадь прямоугольника 64 см2. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим?

Задание 8. В равнобедренный треугольник с основанием 60 см и боковой стороной 50 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите длины сторон прямоугольника.

Задание 9. Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 20 см.

Задание 10. Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в населённый пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой точки (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь населённого пункта?

Задание 11. Лодка находиться на озере на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега. Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на берегу на расстоянии5 км от А (участок АВ берега считаем прямолинейным). Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?